Разбиране на комутатора на матрици

Комутаторът на две матрици A и B, означен с [A,B], е матрица, която представлява резултат от прилагане на действието на едната матрица към другата. По-конкретно, [A,B] = AB -BA. С други думи, това е разликата между произведението на A и B и произведението на B и A.

Например, ако имаме две матрици A = [a11, a12; a21, a22] и B = [b11, b12; b21, b22], тогава комутаторът [A,B] = AB -BA ще бъде:

[A,B] = [a11b11 + a12b21, a11b12 + a12b22; a21b11 + a22b21, a21b12 + a22b22] - [b11a11 + b12a21, b11a12 + b12a22; b21a11 + b22a21, b21a12 + b22a22]

= [a11b22 - b11a22, a12b21 - b12a21; a21b12 - b21a12, a22b11 - b22a11]

Комутаторът на две матрици може да се използва за измерване на неуспеха на матричния продукт да комутира. Ако комутаторът е нула, тогава матричното произведение комутира, което означава, че редът, в който умножаваме матриците, няма значение. Ако комутаторът е различен от нула, тогава матричното произведение не комутира и редът, в който умножаваме матриците, има значение.

В обобщение, комутаторът на две матрици е мярка за това колко добре матричното произведение комутира и може да бъде използва се за определяне дали продуктът е комутативен или не.