Разбиране на предумножението в линейната алгебра

Предварителното умножение е матрична операция, която умножава всеки елемент от една матрица по съответния елемент от друга матрица и се обозначава със символа „·“ или „⋅“. Известен е също като продукт на Адамар или продукт на Шур.

По-подробно, ако имаме две матрици A и B, тяхното предварително умножение AB се дефинира както следва:

(AB)ij = ∑k=1n AkijBkj

където A е n x n матрица , B е n x m матрица, а n и m са размерите на матриците. Резултатът е n x m матрица, където всеки елемент на позиция (i, j) е сумата от произведенията на съответните елементи на A и B.

Предварителното умножение има някои полезни свойства, като например:

* (AB)B = A( BB) = A(A^T) = AA^T
* (AB)^T = B^T A^T = (BA)^T
* (AB) + (AC) = (A+C)B
* (AB) - ( AC) = A(B-C)

Преумножението се използва в много области на линейната алгебра, като разлагане на собствени стойности, разлагане на сингулярни стойности и разлагане на матрици. Използва се и в машинно обучение, обработка на сигнали и други области, където матриците се използват за представяне на данни или трансформации.