Разбиране на функцията на Weierstrass: Ръководство за непрекъснати функции, които не съществуват

Функцията на Вайерщрас е математическа функция, която се използва за дефиниране на концепцията за непрекъсната функция. Въведен е от Карл Вайерщрас, немски математик, в края на 19 век. Функцията се дефинира по следния начин:

f(x) = 0, ако x е рационален (x = a/b, където a и b са цели числа и b е различно от нула)

f(x) = 1/x, ако x е ирационален ( x не може да бъде изразено като съотношение на цели числа)

Функцията на Weierstrass е пример за никъде непрекъсната функция, което означава, че няма точки, в които да е непрекъсната. Това е така, защото функцията постоянно променя стойността си с промяната на x и няма точки, в които функцията да е дефинирана по всяко време.

Функцията на Weierstrasss има няколко важни свойства, включително:

1. Той е непрекъснат във всяка точка от рационалните числа, но не и във всяка точка от ирационалните числа.
2. Той е диференцируем във всяка точка от рационалните числа, но не и във всяка точка от ирационалните числа.
3. Той има крайна граница във всяка точка от рационалните числа, но няма крайна граница във всяка точка от ирационалните числа.
4. Тя е ограничена отгоре и отдолу съответно от функциите 0 и 1/x.

Функцията на Вайерщрас има много приложения в математиката, особено в областта на реалния анализ. Използва се за демонстриране на съществуването на никъде непрекъснати функции, които са функции, които нямат точки, в които да са непрекъснати. Той също има приложения в други области на математиката, като топология и теория на измерването.