Co je neredukovatelnost v teorii kategorií?

V teorii kategorií se funktor nazývá neredukovatelný, pokud jej nelze rozložit jako součin jednodušších funktorů. Jinými slovy, funktor je neredukovatelný, pokud jej nelze vyjádřit jako složení „jednodušších“ funktorů, kde se jednoduchost měří na základě počtu morfismů, které jsou součástí složení. jediné morfismy jsou funkce mezi množinami. Funktor identity, který jednoduše vrací množinu nezměněnou, je neredukovatelný funktor, protože jej nelze rozložit na součin jednodušších funktorů. Na druhé straně funktor, který mapuje každou množinu na její mocninnou množinu, není neredukovatelný, protože jej lze rozložit jako součin jednodušších funktorů: funktor, který mapuje každou množinu na její podkladovou množinu, a funktor, který mapuje každou množinu na její mocninnou množinu. .

Iredukovatelnost je důležitý pojem v teorii kategorií, protože úzce souvisí s pojmem „primitivních“ objektů nebo „základních“ objektů. V jakékoli kategorii existují určité objekty, které nelze rozložit na jednodušší objekty a tyto objekty jsou často označovány jako primitivní nebo základní. Podobně existují určité funktory, které nelze rozložit na jednodušší funktory, a tyto funktory se často označují jako ireducibilní.…… Souhrnně řečeno, iredukbilita je pojem v teorii kategorií, který odkazuje na myšlenku, že některé funktory nelze rozložit na jednodušší funktory. Úzce souvisí s pojmem primitivní nebo základní objekty a je to důležitý koncept pro pochopení struktury kategorií.