Co je to Monoid? Definice, příklady a aplikace

Monoid je matematická struktura, která se skládá ze sady prvků a operace, která kombinuje tyto prvky způsobem, který splňuje určité vlastnosti. což může být cokoliv (čísla, symboly atd.).
* Operace `*`, která přebírá dva prvky `a` a `b` z `M` a vrací další prvek `a * b` také v `M`.

Vlastnosti, které musí operace splňovat, jsou:

* Asociativita: `(a * b) * c = a * (b * c)` pro všechna `a`, `b` a `c` v `M`. To znamená, že na pořadí, ve kterém operaci provádíme, nezáleží.
* Identita: V `M` existuje prvek `e`, takže `a * e = e * a = a` pro všechna `a` v ` M'. Tento prvek se nazývá prvek identity a slouží jako „neutrální“ prvek pro operaci.
* Inverzní: Pro každý prvek „a“ v „M“ existuje další prvek „b“ v „M“, takový, že „ a * b = b * a = e`. Tento prvek `b` se nazývá inverzní k `a` a ruší efekt `a`, když je s ním spojen.

Například množina celých čísel s operací sčítání tvoří monoid:

* Množina `M ` je množina všech celých čísel.
* Operace `*` je sčítání.
* Prvek identity je 0, protože `a + 0 = a` pro libovolné celé číslo `a`.
* Inverzní k prvku `a ` je `-a`, protože `a + (-a) = 0`.

Dalším příkladem monoidu je množina všech řetězců znaků s operací zřetězení:

* Množina ,M` je množina všech řetězce znaků.
* Operace `*` je zřetězení.
* Prvek identity je prázdný řetězec, protože `a + "" = a` pro libovolný řetězec `a`.
* Inverzní k prvku `a` je řetězec získaný obrácením `a`, protože `a + ("" + a) = a + a = e`.

Monoidy se používají v mnoha oblastech matematiky a informatiky, jako je abstraktní algebra, teorie grup a funkcionální programování. Poskytují způsob, jak popsat symetrii a strukturu v různých matematických objektech a systémech, a mají mnoho aplikací v kryptografii, teorii kódování a dalších oblastech informatiky.