Isoperimetrie: Klíčový koncept v geometrii a analýze

V geometrii a analýze je izoperimetrická křivka nebo plocha křivka nebo plocha, která má tu vlastnost, že obklopuje danou oblast pevným obvodem. Jinými slovy, je to křivka nebo povrch, který minimalizuje nebo maximalizuje oblast podléhající dané délce hranice.

Pojem izoperimetrie úzce souvisí s pojmem minimálních povrchů, což jsou povrchy, které mají minimální možnou plochu pro danou hranici. délka. Izoperimetrické křivky a povrchy jsou důležité v různých oblastech matematiky a fyziky, včetně diferenciální geometrie, variačního počtu a obecné teorie relativity. Například kružnice o poloměru r má obsah A = πr^2 a obvod P = 2πr. Pokud zafixujeme oblast A a změníme poloměr r, křivka, která minimalizuje obvod podléhající omezení pevné oblasti, je kružnice. mezi všemi plochami s danou délkou hranice. Například rotační povrch kruhu kolem jeho středu je izoperimetrický povrch, protože obklopuje pevnou oblast s minimální délkou hranice.……V obecné teorii relativity hraje izoperimetrie klíčovou roli při studiu černých děr a dalších objektů se zakřivením. Horizont událostí černé díry je izoperimetrický povrch, protože obklopuje pevnou oblast s minimální délkou hranice.……Celkově je izoperimetrie důležitým konceptem v matematice a fyzice, který má mnoho aplikací v geometrii, analýze a teoretické fyzice.