Pochopení funkce Weierstrass: Průvodce nikam nepřetržitými funkcemi

Weierstrassova funkce je matematická funkce, která se používá k definování konceptu spojité funkce. Zavedl jej Karl Weierstrass, německý matematik, koncem 19. století. Funkce je definována následovně:

f(x) = 0, je-li x racionální (x = a/b, kde aab jsou celá čísla a b je nenulové)

f(x) = 1/x, je-li x iracionální ( x nelze vyjádřit jako poměr celých čísel)

Weierstrassova funkce je příkladem nikde spojité funkce, což znamená, že nemá žádné body, v nichž by byla spojitá. Je to proto, že funkce neustále mění svou hodnotu, jak se mění x, a neexistují žádné body, ve kterých by byla funkce vždy definována. Je spojitá v každém bodě racionálních čísel, ale ne v žádném bodě iracionálních čísel.…2. Je diferencovatelná v každém bodě racionálních čísel, ale ne v žádném bodě iracionálních čísel.…3. V každém bodě racionálních čísel má konečnou limitu, ale v žádném bodě iracionálních čísel nemá konečnou limitu.
4. Je omezena nad a pod funkcemi 0 a 1/x, v tomto pořadí. Používá se k demonstraci existence nikde spojitých funkcí, což jsou funkce, které nemají žádné body, v nichž by byly spojité. Má také aplikace v jiných oblastech matematiky, jako je topologie a teorie měření.