Pochopení komutátoru matic

Komutátor dvou matic A a B, označený [A,B], je matice, která představuje výsledek aplikace operace jedné matice na druhou. Konkrétně [A,B] = AB-BA. Jinými slovy, je to rozdíl mezi součinem A a B a součinem B a A.

Například, pokud máme dvě matice A = [a11, a12; a21, a22] a B = [bl 1, bl2; b21, b22], pak by komutátor [A,B] = AB -BA byl:

[A,B] = [a11b11 + a12b21, a11b12 + a12b22; a21b11 + a22b21, a21b12 + a22b22] - [b11a11 + b12a21, b11a12 + b12a22; b21a11 + b22a21, b21a12 + b22a22]

= [a11b22 - b11a22, a12b21 - b12a21; a21b12 - b21a12, a22b11 - b22a11]

K měření selhání komutování maticového součinu lze použít komutátor dvou matic. Pokud je komutátor nulový, pak maticový součin komutuje, to znamená, že na pořadí, ve kterém matice násobíme, nezáleží. Pokud je komutátor nenulový, pak maticový součin nekomutuje a záleží na pořadí, ve kterém matice násobíme. používá se k určení, zda je produkt komutativní nebo ne.