Pochopení prenásobení v lineární algebře

Přednásobení je maticová operace, která násobí každý prvek jedné matice odpovídajícím prvkem jiné matice a označuje se symbolem "·" nebo "⋅". Je také známý jako Hadamardův součin nebo Schurův součin.

Podrobněji, pokud máme dvě matice A a B, jejich přednásobení AB je definováno takto:

(AB)ij = ∑k=1n AkijBkj

kde A je matice n x n , B je matice n x m a n a m jsou rozměry matic. Výsledkem je matice n x m, kde každý prvek na pozici (i, j) je součtem součinů odpovídajících prvků A a B.

Přenásobení má některé užitečné vlastnosti, např.:

* (AB)B = A( BB) = A(A^T) = AA^T
* (AB)^T = B^T A^T = (BA)^T
* (AB) + (AC) = (A+C)B
* (AB) - ( AC) = A(B-C)

Přenásobení se používá v mnoha oblastech lineární algebry, jako je rozklad vlastních čísel, rozklad singulárních hodnot a rozklad matice. Používá se také ve strojovém učení, zpracování signálu a dalších oblastech, kde se matice používají k reprezentaci dat nebo transformací.