Forståelse af kommutatoren af matricer

Kommutatoren af to matricer A og B, betegnet med [A,B], er en matrix, der repr
senterer resultatet af at anvende operationen af en matrix til den anden. Specifikt [A,B] = AB -BA. Det er med andre ord forskellen mellem produktet af A og B, og produktet af B og A.

For eksempel, hvis vi har to matricer A = [a11, a12; a21, a22] og B = [bll, b12; b21, b22], så ville kommutatoren [A,B] = AB -BA v
re:

[A,B] = [a11b11 + a12b21, a11b12 + a12b22; a21b11 + a22b21, a21b12 + a22b22] - [b11a11 + b12a21, b11a12 + b12a22; b21a11 + b22a21, b21a12 + b22a22]

= [a11b22 - b11a22, a12b21 - b12a21; a21b12 - b21a12, a22b11 - b22a11]

Kommutatoren af to matricer kan bruges til at måle matrixproduktets manglende pendling. Hvis kommutatoren er nul, så pendler matrixproduktet, hvilket betyder, at r
kkefølgen, hvori vi multiplicerer matricerne, ikke betyder noget. Hvis kommutatoren er ikke-nul, så pendler matrixproduktet ikke, og r
kkefølgen, vi gange matricerne i, betyder noget.

Sammenfattende er kommutatoren af to matricer et mål for, hvor godt matrixproduktet pendler, og kan v
re bruges til at afgøre, om produktet er kommutativt eller ej.