Forståelse af præmultiplikation i lineær algebra

Formultiplikation er en matrixoperation, der multiplicerer hvert element i en matrix med det tilsvarende element i en anden matrix, og er angivet med symbolet "·" eller "⋅". Det er også kendt som Hadamard-produktet eller Schur-produktet.

Mere detaljeret, hvis vi har to matricer A og B, er deres pr
multiplikation AB defineret som følger:

(AB)ij = ∑k=1n AkijBkj

hvor A er en n x n matrix , B er en n x m matrix, og n og m er dimensionerne af matricerne. Resultatet er en n x m matrix, hvor hvert element i position (i, j) er summen af produkterne af de tilsvarende elementer af A og B.

Premultiplikation har nogle nyttige egenskaber, såsom:

* (AB)B = A( BB) = A(A^T) = AA^T
* (AB)^T = B^T A^T = (BA)^T
* (AB) + (AC) = (A+C)B
* (AB) - ( AC) = A(B-C)

Premultiplikation bruges i mange områder af line
r algebra, såsom egenv
rdidekomponering, singularv
rdidekomponering og matrixfaktorisering. Det bruges også i maskinl
ring, signalbehandling og andre områder, hvor matricer bruges til at repr
sentere data eller transformationer.