Hvad er en ikke-triviel funktion i kategoriteori?

I kategoriteori kaldes en funktor "ikke-triviel" eller "ikke-holdbar", hvis den ikke er en
kvivalensrelation. Med andre ord, hvis funktoren ikke bevarer ligheden af morfismer, så er den ikke-triviel.

Overvej f.eks. kategorien af m
ngder, hvor morfismerne er funktioner mellem m
ngder. Identitetsfunktionen, som blot kortl
gger hvert s
t til sig selv og hver funktion til sig selv, er en triviel funktion, fordi den bevarer alle morfismer. På den anden side er den funktion, der kortl
gger hvert s
t til dets magts
t og hver funktion til dets inverse, ikke-triviel, fordi den ikke bevarer ligheden mellem morfismer.

Generelt kan en ikke-triviel funktion opfattes som en "ikke-triviel" transformation mellem kategorier, hvilket
ndrer den underliggende struktur i kategorien på en eller anden måde.