Den Kommutator von Matrizen verstehen

Der Kommutator zweier Matrizen A und B, bezeichnet mit [A,B], ist eine Matrix, die das Ergebnis der Anwendung der Operation einer Matrix auf die andere darstellt. Insbesondere gilt [A,B] = AB -BA. Mit anderen Worten, es ist die Differenz zwischen dem Produkt von A und B und dem Produkt von B und A.

Zum Beispiel, wenn wir zwei Matrizen haben A = [a11, a12; a21, a22] und B = [b11, b12; b21, b22], dann wäre der Kommutator [A,B] = AB -BA:

[A,B] = [a11b11 + a12b21, a11b12 + a12b22; a21b11 + a22b21, a21b12 + a22b22] - [b11a11 + b12a21, b11a12 + b12a22; b21a11 + b22a21, b21a12 + b22a22]

= [a11b22 - b11a22, a12b21 - b12a21; a21b12 - b21a12, a22b11 - b22a11]

Der Kommutator zweier Matrizen kann verwendet werden, um das Versagen des Matrixprodukts beim Kommutieren zu messen. Wenn der Kommutator Null ist, kommutiert das Matrixprodukt, was bedeutet, dass die Reihenfolge, in der wir die Matrizen multiplizieren, keine Rolle spielt. Wenn der Kommutator ungleich Null ist, kommutiert das Matrixprodukt nicht und die Reihenfolge, in der wir die Matrizen multiplizieren, spielt eine Rolle Wird verwendet, um zu bestimmen, ob das Produkt kommutativ ist oder nicht.