Die Weierstrass-Funktion verstehen: Ein Leitfaden zu nirgendwo kontinuierlichen Funktionen

Die Weierstrass-Funktion ist eine mathematische Funktion, die zur Definition des Konzepts einer stetigen Funktion verwendet wird. Es wurde Ende des 19. Jahrhunderts von Karl Weierstrass, einem deutschen Mathematiker, eingeführt. Die Funktion ist wie folgt definiert:

f(x) = 0, wenn x rational ist (x = a/b, wobei a und b ganze Zahlen sind und b ungleich Null ist)

f(x) = 1/x, wenn x irrational ist ( x kann nicht als Verhältnis ganzer Zahlen ausgedrückt werden)

Die Weierstrass-Funktion ist ein Beispiel für eine nirgends stetige Funktion, was bedeutet, dass sie keine Punkte hat, an denen sie stetig ist. Dies liegt daran, dass die Funktion ihren Wert ständig ändert, wenn sich x ändert, und es keine Punkte gibt, an denen die Funktion jederzeit definiert ist.

Die Weierstrass-Funktion hat mehrere wichtige Eigenschaften, darunter:

1. Es ist an jedem Punkt der rationalen Zahlen stetig, aber an keinem Punkt der irrationalen Zahlen.
2. Es ist an jedem Punkt der rationalen Zahlen differenzierbar, aber nicht an jedem Punkt der irrationalen Zahlen.
3. Es hat an jedem Punkt der rationalen Zahlen einen endlichen Grenzwert, aber an keinem Punkt der irrationalen Zahlen einen endlichen Grenzwert.
4. Sie wird nach oben und unten durch die Funktionen 0 bzw. 1/x begrenzt.

Die Weierstrass-Funktion hat viele Anwendungen in der Mathematik, insbesondere im Bereich der reellen Analysis. Es wird verwendet, um die Existenz nirgends stetiger Funktionen zu demonstrieren, also Funktionen, die keine Punkte haben, an denen sie stetig sind. Es findet auch Anwendung in anderen Bereichen der Mathematik, etwa der Topologie und der Ma+theorie.