Exaktoren in der Kategorietheorie: Ein Leitfaden zum Verständnis der Exaktheit in Funktoren

Exaktoren sind eine Möglichkeit, einen Begriff der „Genauigkeit“ für einen Funktor zu definieren, der zur Untersuchung der Eigenschaften des Funktors verwendet werden kann. Ein Exaktor ist ein Paar aus einem Funktor und einer natürlichen Transformation zwischen ihm und dem Identitätsfunktor. Die Idee ist, dass der Funktor in dem Sinne „exakt“ ist, dass er eine bestimmte Struktur, beispielsweise eine Gruppen- oder Ringstruktur, beibehält, und dass die natürliche Transformation eine Möglichkeit ist, zu messen, wie gut der Funktor diese Struktur beibehält.

Zum Beispiel, wenn haben wir einen Funktor F: Grp -> Ab, wobei Grp die Kategorie der Gruppen und Ab die Kategorie der abelschen Gruppen ist, dann könnte ein Exaktor für F ein Paar (F, ε) sein, wobei ε eine natürliche Transformation von F ist zum Identitätsfunktor Id_Ab, so dass ε(g) ein Homomorphismus von F(g) nach g für alle Objekte g in Grp ist. Dies bedeutet, dass F die Gruppenstruktur der Objekte in Grp beibehält und ε misst, wie gut F diese Struktur beibehält natürliche Transformationen zwischen Funktoren. Sie stehen auch in engem Zusammenhang mit anderen wichtigen Konzepten der Kategorientheorie, beispielsweise exakten Folgen und Dreiecken.