McCartan-Räume: Eine Verallgemeinerung von Mannigfaltigkeiten für die nichtkommutative Geometrie
McCartan ist eine mathematische Struktur, die den Begriff einer Mannigfaltigkeit verallgemeinert. Es wurde in den 1990er Jahren von John McCartan eingeführt, um die nichtkommutative Geometrie und die Geometrie von Räumen mit einer nichttrivialen Grundgruppe zu untersuchen. Ein McCartan-Raum ist ein topologischer Raum, der mit einem Bündel von Ringen, dem McCartan, ausgestattet ist Garbe, die die Geometrie des Raumes kodiert. Das McCartan-Bündel ist eine Verallgemeinerung des Bündels von Funktionen auf einer Mannigfaltigkeit und enthält zusätzliche Strukturen wie etwa den Begriff „Differential“, der nicht unbedingt kommutativ ist.
Eines der Hauptmerkmale von McCartan-Räumen ist, dass sie eine nicht- triviale Fundamentalgruppe, was bedeutet, dass der Raum nicht unbedingt pfadverbunden ist. Dies steht im Gegensatz zu Mannigfaltigkeiten, die immer pfadverbunden sind. Die nicht-triviale Grundgruppe eines McCartan-Raums ermöglicht die Untersuchung exotischerer geometrischer Strukturen, wie sie beispielsweise in der nicht-kommutativen Geometrie und der Geometrie von Räumen mit einer nicht-trivialen Grundgruppe zu finden sind. McCartan-Räume haben vielfältige Anwendungen gefunden von Bereichen, einschlie+lich algebraischer Geometrie, Zahlentheorie und mathematischer Physik. Sie bieten eine Möglichkeit, geometrische Objekte zu untersuchen, die nicht unbedingt kommutativ sind, und sie wurden zur Untersuchung einer Vielzahl von Problemen verwendet, von der Geometrie algebraischer Varietäten bis hin zur Untersuchung von Quantenfeldtheorien.