Prämultiplikation in der linearen Algebra verstehen

Die Vormultiplikation ist eine Matrixoperation, die jedes Element einer Matrix mit dem entsprechenden Element einer anderen Matrix multipliziert und mit dem Symbol „·“ oder „⋅“ gekennzeichnet ist. Es ist auch als Hadamard-Produkt oder Schur-Produkt bekannt.

Genauer gesagt, wenn wir zwei Matrizen A und B haben, ist ihre Vormultiplikation AB wie folgt definiert:

(AB)ij = ∑k=1n AkijBkj

wobei A eine n x n-Matrix ist , B ist eine n x m-Matrix und n und m sind die Dimensionen der Matrizen. Das Ergebnis ist eine n x m-Matrix, in der jedes Element an Position (i, j) die Summe der Produkte der entsprechenden Elemente von A und B ist.

Vormultiplikation hat einige nützliche Eigenschaften, wie zum Beispiel:

* (AB)B = A( BB) = A(A^T) = AA^T
* (AB)^T = B^T A^T = (BA)^T
* (AB) + (AC) = (A+C)B
* (AB) - ( AC) = A(B-C)

Prämultiplikation wird in vielen Bereichen der linearen Algebra verwendet, beispielsweise bei der Eigenwertzerlegung, der Singularwertzerlegung und der Matrixfaktorisierung. Es wird auch im maschinellen Lernen, in der Signalverarbeitung und in anderen Bereichen verwendet, in denen Matrizen zur Darstellung von Daten oder Transformationen verwendet werden.