Unbegründetheit in der mathematischen Logik und Modelltheorie

Unbegründetheit ist ein Konzept, das in der mathematischen Logik und Modelltheorie verwendet wird, um die Eigenschaft einer Aussage oder Formel zu beschreiben, die innerhalb eines bestimmten Systems nicht beweisbar ist. Mit anderen Worten handelt es sich um eine Aussage, die nicht aus den Axiomen des Systems abgeleitet werden kann.

Zum Beispiel ist die Aussage „Dieser Satz ist falsch“ in der klassischen Aussagenlogik unbegründet, da sie innerhalb des Systems weder bewiesen noch widerlegt werden kann. Ebenso ist die Kontinuumshypothese in der Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie unbegründet, weil sie innerhalb des Systems nicht bewiesen werden kann.

Unbegründetheit ist ein wichtiges Konzept in der Modelltheorie, weil sie uns ermöglicht, zwischen Aussagen zu unterscheiden, die wahr, aber nicht beweisbar sind, und Aussagen, die wahr sind falsch, aber unbeweisbar. Mit anderen Worten: Unbegründetheit bietet eine Möglichkeit, Aussagen zu identifizieren, die in einem bestimmten System nicht beweisbar, aber dennoch wahr sein können.