Was ist Abzählbarkeit in der Mengenlehre?
Abzählbarkeit ist eine Eigenschaft von Mengen, die besagt, dass die Menge in eine Eins-zu-eins-Entsprechung mit den natürlichen Zahlen gebracht werden kann. Mit anderen Worten: Wenn wir jedes Element der Menge mit einer eindeutigen natürlichen Zahl koppeln können, dann ist die Menge zählbar.
Zum Beispiel ist die Menge aller natürlichen Zahlen zählbar, weil wir jede natürliche Zahl mit einer eindeutigen ganzen Zahl koppeln können. Aus dem gleichen Grund ist auch die Menge aller rationalen Zahlen abzählbar. Andererseits ist die Menge aller reellen Zahlen nicht abzählbar, da es unzählige reelle Zahlen gibt und es keine Möglichkeit gibt, jede reelle Zahl mit einer eindeutigen natürlichen Zahl zu paaren.
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Eine Menge hei+t abzählbar, wenn sie den natürlichen Zahlen eineindeutig zugeordnet werden kann. Mit anderen Worten, wenn wir jedes Element der Menge mit einer eindeutigen natürlichen Zahl koppeln können, dann ist die Menge abzählbar.
Zum Beispiel ist die Menge aller ganzen Zahlen abzählbar, weil wir jede ganze Zahl mit einer eindeutigen natürlichen Zahl koppeln können: $1$ mit die Zahl $1$, $2$ mit der Zahl $2$ und so weiter.
Andererseits ist die Menge aller reellen Zahlen nicht abzählbar, weil es unzählige reelle Zahlen gibt und es keine Möglichkeit gibt, jede reelle Zahl damit zu paaren eine eindeutige natürliche Zahl.
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