Was ist ein Monoid? Definition, Beispiele und Anwendungen

Ein Monoid ist eine mathematische Struktur, die aus einer Menge von Elementen und einer Operation besteht, die diese Elemente auf eine Weise kombiniert, die bestimmte Eigenschaften erfüllt.

Um genauer zu sein, ist ein Monoid wie folgt definiert:

* Eine Menge „M“ von Elementen, Das kann alles sein (Zahlen, Symbole usw.).
* Eine Operation „*“, die zwei Elemente „a“ und „b“ aus „M“ übernimmt und ein weiteres Element „a * b“ ebenfalls in „M“ zurückgibt.

Die Eigenschaften, die die Operation erfüllen muss, sind:

* Assoziativität: „(a * b) * c = a * (b * c)“ für alle „a“, „b“ und „c“ in „M“. Das bedeutet, dass die Reihenfolge, in der wir die Operation ausführen, keine Rolle spielt.
* Identität: Es gibt ein Element „e“ in „M“, so dass „a * e = e * a = a“ für alle „a“ in „ M`. Dieses Element wird als Identitätselement bezeichnet und dient als „neutrales“ Element für die Operation.
* Umkehrung: Für jedes Element „a“ in „M“ existiert ein weiteres Element „b“ in „M“, sodass „ a * b = b * a = e`. Dieses Element „b“ wird als Umkehrung von „a“ bezeichnet und macht die Wirkung von „a“ rückgängig, wenn es damit kombiniert wird.

Zum Beispiel bildet die Menge der ganzen Zahlen mit der Additionsoperation ein Monoid:

* Die Menge „M ` ist die Menge aller ganzen Zahlen.
* Die Operation `*` ist Addition.
* Das Identitätselement ist 0, weil `a + 0 = a` für jede ganze Zahl `a`.
* Die Umkehrung eines Elements `a ` ist `-a`, weil `a + (-a) = 0`.

Ein weiteres Beispiel für ein Monoid ist die Menge aller Zeichenfolgen mit der Operation der Verkettung:

* Die Menge `M` ist die Menge aller Zeichenketten.
* Die Operation „*“ ist eine Verkettung.
* Das Identitätselement ist die leere Zeichenfolge, da „a + „“ = a“ für jede Zeichenfolge „a“ gilt.
* Die Umkehrung eines Elements „a“. ist die durch Umkehrung von „a“ erhaltene Zeichenfolge, da „a + („“ + a) = a + a = e“.

Monoide werden in vielen Bereichen der Mathematik und Informatik verwendet, beispielsweise in der abstrakten Algebra, der Gruppentheorie und der Funktionaltheorie Programmierung. Sie bieten eine Möglichkeit, Symmetrie und Struktur in verschiedenen mathematischen Objekten und Systemen zu beschreiben, und sie finden zahlreiche Anwendungen in der Kryptographie, der Codierungstheorie und anderen Bereichen der Informatik.