Was ist ein nichttrivialer Funktor in der Kategorientheorie?

In der Kategorientheorie wird ein Funktor „nichttrivial“ oder „unhaltbar“ genannt, wenn es sich nicht um eine Äquivalenzrelation handelt. Mit anderen Worten: Wenn der Funktor die Gleichheit der Morphismen nicht beibehält, ist er nicht trivial. Betrachten wir beispielsweise die Kategorie der Mengen, in der die Morphismen Funktionen zwischen Mengen sind. Der Identitätsfunktor, der einfach jede Menge auf sich selbst und jede Funktion auf sich selbst abbildet, ist ein trivialer Funktor, da er alle Morphismen beibehält. Andererseits ist der Funktor, der jede Menge ihrer Potenzmenge und jede Funktion ihrer Umkehrung zuordnet, nichttrivial, da er die Gleichheit der Morphismen nicht bewahrt.

Im Allgemeinen kann ein nichttrivialer Funktor als eine „nichttriviale“ Transformation betrachtet werden zwischen Kategorien, wodurch die zugrunde liegende Struktur der Kategorie in gewisser Weise verändert wird.