Was ist eine irreduzible Matrix?

Eine irreduzible Matrix ist eine quadratische Matrix, die nicht in das Produkt zweier kleinerer Matrizen zerlegt werden kann, d. h. sie kann nicht als Produkt zweier Matrizen kleinerer Dimensionen geschrieben werden. Mit anderen Worten, eine Matrix ist irreduzibel, wenn sie nicht durch Ähnlichkeitstransformation diagonalisiert werden kann.

Zum Beispiel ist eine 2x2-Identitätsmatrix irreduzibel, weil sie nicht in das Produkt zweier kleinerer Matrizen zerlegt werden kann. Eine 3x3-Matrix ohne Nullelemente auf ihrer Hauptdiagonale ist ebenfalls irreduzibel, da sie nicht durch Ähnlichkeitstransformation diagonalisiert werden kann.

In der linearen Algebra sind irreduzible Matrizen in vielen Anwendungen wichtig, beispielsweise bei der Eigenwertzerlegung, linearen Transformationen und Markov-Ketten.