Κατανόηση της Υποδιακριτικότητας στη Θεωρία Τύπου και τη Θεωρία Τύπου Ομοτοπίας

Στο πλαίσιο της θεωρίας τύπων και της θεωρίας τύπων ομοτοπίας, μια έννοια που εισήχθη από τον Vladimir Voevodsky και τους συνεργάτες του είναι η έννοια της «υποδιακριτικότητας». άλλους τύπους με την έννοια ότι έχει πολλή δομή που δεν μοιράζεται με άλλους τύπους. Για παράδειγμα, ο τύπος «Nat» (φυσικοί αριθμοί) είναι ιδιαίτερα διακριτικός επειδή έχει πολλή δομή που δεν είναι κοινή με άλλους τύπους, όπως το γεγονός ότι είναι μια γραμμική σειρά και ότι έχει μια διάδοχη συνάρτηση.

Στο Από την άλλη πλευρά, ο τύπος «Σετ» (σύνολα) είναι λιγότερο διακριτικός επειδή δεν έχει τόση δομή που δεν είναι κοινή με άλλους τύπους. Στην πραγματικότητα, το «Σετ» θεωρείται συχνά ως ένας «καθολικός» τύπος με την έννοια ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κωδικοποίηση οποιουδήποτε άλλου τύπου, πράγμα που σημαίνει ότι δεν έχει τόση δομή που είναι μοναδική για τον εαυτό του.

Η υποδιακριτικότητα ενός Ο τύπος είναι ένα μέτρο του πόσο ο τύπος μοιάζει με άλλους τύπους με την έννοια ότι έχει λιγότερη δομή που δεν είναι κοινή με άλλους τύπους. Για παράδειγμα, ο τύπος "Fin Nat" (πεπερασμένοι φυσικοί αριθμοί) είναι λιγότερο διακριτικός από το "Nat" επειδή έχει λιγότερες δομές που δεν είναι κοινόχρηστες με άλλους τύπους. Στην πραγματικότητα, το «Fin Nat» μπορεί να θεωρηθεί ως μια «ειδική περίπτωση» του «Nat» με την έννοια ότι είναι υποσύνολο του «Nat» και έχει λιγότερα στοιχεία.

Η υποδιαφορικότητα ενός τύπου μπορεί να μετρηθεί χρησιμοποιώντας μια ποικιλία μεθόδων, όπως το μέγεθος του τύπου, ο αριθμός της δομής που έχει ο τύπος κ.λπ. Για παράδειγμα, ο τύπος «Fin Nat» είναι λιγότερο διακριτικός από το «Nat» επειδή έχει μικρότερο μέγεθος (περιέχει μόνο το πεπερασμένο φυσικοί αριθμοί) και έχει λιγότερες δομές (δεν έχει συνάρτηση διάδοχου). τύπους και τις σχέσεις τους με άλλους τύπους. Για παράδειγμα, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει την έννοια της υποδιακριτικότητας για να αποδείξει ότι ορισμένοι τύποι είναι «ουσιαστικά» ίδιοι με άλλους τύπους ή για να δείξει ότι ορισμένοι τύποι είναι «ουσιαστικά» διαφορετικοί από άλλους τύπους.