Τι είναι ένα αντιπαράγωγο;

Ένα αντιπαράγωγο, γνωστό και ως αόριστο ολοκλήρωμα, είναι μια συνάρτηση που έχει την ιδιότητα ότι η παράγωγός της είναι ίση με την αρχική συνάρτηση. Με άλλα λόγια, αν πάρουμε την παράγωγο ενός αντιπαραγώγου, παίρνουμε πίσω την αρχική συνάρτηση.

Για παράδειγμα, θεωρήστε τη συνάρτηση f(x) = x^2. Το αντιπαράγωγο της f(x) είναι F(x) = x^3/3. Για να δούμε γιατί αυτό ισχύει, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό μιας παραγώγου:

F'(x) = d/dx [F(x)]

Χρησιμοποιώντας τον κανόνα της αλυσίδας, έχουμε:

F'(x) = d/dx [x ^3/3]

= d/dx (x^2)

= 2x

Άρα, F'(x) = 2x, που είναι ίδια με την παράγωγο της f(x). Επομένως, το F(x) είναι ένα αντιπαράγωγο της f(x).

Τα αντιπαράγωγα είναι σημαντικά στον λογισμό επειδή μας επιτρέπουν να ενσωματώσουμε συναρτήσεις και να βρούμε την περιοχή κάτω από τις καμπύλες. Έχουν επίσης πολλές πρακτικές εφαρμογές σε τομείς όπως η φυσική, η μηχανική και τα οικονομικά.