Τι είναι ένα Μονοειδές; Ορισμός, Παραδείγματα και Εφαρμογές

Ένα μονοειδές είναι μια μαθηματική δομή που αποτελείται από ένα σύνολο στοιχείων και μια πράξη που συνδυάζει αυτά τα στοιχεία με τρόπο που ικανοποιεί ορισμένες ιδιότητες.

Για να είμαστε πιο συγκεκριμένοι, ένα μονοειδές ορίζεται ως εξής:

* Ένα σύνολο «M» στοιχείων, που μπορεί να είναι οτιδήποτε (αριθμοί, σύμβολα, κ.λπ.).
* Μια πράξη «*» που παίρνει δύο στοιχεία «a» και «b» από το «M» και επιστρέφει ένα άλλο στοιχείο «a * b» επίσης στο «M».

Οι ιδιότητες που πρέπει να ικανοποιεί η πράξη είναι:

* Συσχετισμός: `(a * b) * c = a * (b * c)` για όλα τα `a`, `b`, και `c` στο `M`. Αυτό σημαίνει ότι η σειρά με την οποία εκτελούμε την πράξη δεν έχει σημασία.
* Ταυτότητα: Υπάρχει ένα στοιχείο `e` στο `M` έτσι ώστε `a * e = e * a = a` για όλα τα `a` στο ` Μ`. Αυτό το στοιχείο ονομάζεται στοιχείο ταυτότητας και χρησιμεύει ως «ουδέτερο» στοιχείο για τη λειτουργία.
* Αντίστροφο: Για κάθε στοιχείο «a» στο «M», υπάρχει ένα άλλο στοιχείο «b» στο «M» έτσι ώστε « a * b = b * a = e`. Αυτό το στοιχείο «b» ονομάζεται αντίστροφο του «a» και αναιρεί την επίδραση του «a» όταν συνδυάζεται με αυτό.

Για παράδειγμα, το σύνολο των ακεραίων με την πράξη της πρόσθεσης σχηματίζει ένα μονοειδές:

* Το σύνολο «M ` είναι το σύνολο όλων των ακεραίων. ` είναι `-a`, επειδή `a + (-a) = 0`.

Ένα άλλο παράδειγμα μονοειδούς είναι το σύνολο όλων των συμβολοσειρών χαρακτήρων με την πράξη συνένωσης:

* Το σύνολο `M` είναι το σύνολο όλων συμβολοσειρές χαρακτήρων.
* Η πράξη `*` είναι συνένωση.
* Το στοιχείο ταυτότητας είναι η κενή συμβολοσειρά, επειδή `a + "" = a` για οποιαδήποτε συμβολοσειρά `a`.
* Το αντίστροφο ενός στοιχείου `a` είναι η συμβολοσειρά που λαμβάνεται με την αντιστροφή του `a`, επειδή `a + ("" + a) = a + a = e`.

Τα μονοειδή χρησιμοποιούνται σε πολλούς τομείς των μαθηματικών και της επιστήμης των υπολογιστών, όπως η αφηρημένη άλγεβρα, η θεωρία ομάδων και η λειτουργική προγραμματισμός. Παρέχουν έναν τρόπο περιγραφής της συμμετρίας και της δομής σε διάφορα μαθηματικά αντικείμενα και συστήματα και έχουν πολλές εφαρμογές στην κρυπτογραφία, τη θεωρία κωδικοποίησης και άλλους τομείς της επιστήμης των υπολογιστών.