Τι είναι η αριθμητικότητα στη θεωρία του συνόλου;

Στο πλαίσιο της θεωρίας συνόλων, ένα σύνολο λέγεται ότι είναι αριθμητικό εάν η καρδινάλισή του (δηλαδή ο αριθμός των στοιχείων που περιέχει) είναι ένας αριθμήσιμος άπειρος αριθμός. Αυτό σημαίνει ότι το σύνολο μπορεί να είναι καλά διατεταγμένο, που σημαίνει ότι έχει μια συνολική τάξη τέτοια ώστε κάθε μη κενό υποσύνολο να έχει ένα ελάχιστο στοιχείο.

Για παράδειγμα, το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι αριθμητικό επειδή μπορεί να είναι καλά ταξινομημένο: μπορούμε απαριθμήστε όλους τους φυσικούς αριθμούς σε μια ακολουθία και κάθε μη κενό υποσύνολο (όπως το σύνολο των ζυγών αριθμών ή το σύνολο των πολλαπλασίων του 3) έχει ένα ελάχιστο στοιχείο.

Από την άλλη πλευρά, το σύνολο των πραγματικών αριθμών δεν είναι αριθμητικό γιατί δεν μπορεί να είναι καλά τακτοποιημένο. Δεν υπάρχει συνολική σειρά των πραγματικών αριθμών που να ικανοποιεί την παραπάνω ιδιότητα.