Χώροι McCartan: Μια γενίκευση των πολλαπλών για τη μη μεταθετική γεωμετρία

Ο McCartan είναι μια μαθηματική δομή που γενικεύει την έννοια της πολλαπλότητας. Εισήχθη από τον John McCartan στη δεκαετία του 1990 ως ένας τρόπος μελέτης της μη-ανταλλαγής γεωμετρίας και της γεωμετρίας των χώρων με μια μη τετριμμένη θεμελιώδη ομάδα. στάχυ, που κωδικοποιεί τη γεωμετρία του χώρου. Το δεμάτιο McCartan είναι μια γενίκευση του δεσμού των συναρτήσεων σε μια πολλαπλή, και περιλαμβάνει πρόσθετη δομή, όπως μια έννοια "διαφορικού" που δεν είναι απαραίτητα αντικαταστατική.

Ένα από τα βασικά χαρακτηριστικά των χώρων McCartan είναι ότι μπορούν να έχουν μη ασήμαντη θεμελιώδης ομάδα, που σημαίνει ότι ο χώρος δεν είναι απαραίτητα συνδεδεμένος με μονοπάτια. Αυτό έρχεται σε αντίθεση με τις πολλαπλές, οι οποίες είναι πάντα συνδεδεμένες με μονοπάτια. Η μη τετριμμένη θεμελιώδης ομάδα ενός χώρου McCartan επιτρέπει τη μελέτη πιο εξωτικών γεωμετρικών δομών, όπως αυτές που απαντώνται στη μη-ανταλλακτική γεωμετρία και η γεωμετρία των χώρων με μια μη τετριμμένη θεμελιώδη ομάδα.

Οι χώροι McCartan έχουν βρει εφαρμογές σε μια ποικιλία πεδίων, συμπεριλαμβανομένης της αλγεβρικής γεωμετρίας, της θεωρίας αριθμών και της μαθηματικής φυσικής. Παρέχουν έναν τρόπο μελέτης γεωμετρικών αντικειμένων που δεν είναι απαραίτητα ανταλλάξιμα, και έχουν χρησιμοποιηθεί για τη μελέτη ενός ευρέος φάσματος προβλημάτων, από τη γεωμετρία των αλγεβρικών ποικιλιών έως τη μελέτη των κβαντικών θεωριών πεδίου.