The Mysterious World of Ireal Numbers

Στη φιλοσοφία των μαθηματικών, ένας μη πραγματικός αριθμός είναι ένας αριθμός που δεν έχει πραγματική αναπαράσταση με τη συνήθη έννοια. Δηλαδή, δεν μπορεί να εκφραστεί ως πεπερασμένο δεκαδικό ή κλάσμα και δεν μπορεί να απεικονιστεί στην αριθμητική γραμμή. Οι μη πραγματικοί αριθμοί εισήχθησαν για πρώτη φορά από τον μαθηματικό Georg Cantor στα τέλη του 19ου αιώνα, ως μέρος της εργασίας του για τη θεωρία συνόλων και την θεμέλια των μαθηματικών. Είναι επίσης γνωστοί ως «υπερβατικοί» αριθμοί, για να διακρίνονται από τους πραγματικούς αριθμούς που μπορούν να αναπαρασταθούν στην αριθμητική γραμμή.

Οι μη πραγματικοί αριθμοί περιλαμβάνουν διάσημες μαθηματικές σταθερές όπως το pi και το e, που δεν μπορούν να εκφραστούν ως πεπερασμένα δεκαδικά ψηφία και δεν έχουν τερματικό ή επαναλαμβανόμενο μοτίβο. Περιλαμβάνουν επίσης πιο εξωτικούς αριθμούς, όπως η σταθερά Champernowne, η οποία είναι ένας υπερβατικός αριθμός που μπορεί να εκφραστεί ως άπειρη δεκαδική επέκταση που δεν επαναλαμβάνεται ποτέ.

Οι μη πραγματικοί αριθμοί έχουν πολλές ενδιαφέρουσες ιδιότητες και εφαρμογές στα μαθηματικά, ιδιαίτερα στους τομείς του λογισμού, της ανάλυσης και τη θεωρία αριθμών. Για παράδειγμα, χρησιμοποιούνται για τη μελέτη της συμπεριφοράς συναρτήσεων και εξισώσεων που δεν μπορούν να λυθούν χρησιμοποιώντας παραδοσιακές αλγεβρικές τεχνικές και έχουν σημαντικές επιπτώσεις στα θεμέλια των μαθηματικών και στη φύση της ίδιας της πραγματικότητας.

Ωστόσο, οι μη πραγματικοί αριθμοί δεν είναι χωρίς αμφισβήτηση και Η ιδιότητά τους ως «πραγματικών» αριθμών εξακολουθεί να αποτελεί αντικείμενο συζήτησης μεταξύ των μαθηματικών. Κάποιοι υποστηρίζουν ότι πρέπει να θεωρηθούν ως μια ξεχωριστή κατηγορία αριθμών, διακριτή από τους πραγματικούς αριθμούς, ενώ άλλοι πιστεύουν ότι πρέπει να συμπεριληφθούν στο πλαίσιο της πραγματικής ανάλυσης. Σε τελική ανάλυση, το ερώτημα του τι συνιστά «πραγματικό» αριθμό είναι θέμα ερμηνείας και ορισμού, και δεν υπάρχει καθολικά αποδεκτή απάντηση.