Comprender la premultiplicación en álgebra lineal

La premultiplicación es una operación matricial que multiplica cada elemento de una matriz por el elemento correspondiente de otra matriz y se denota con el símbolo "·" o "⋅". También se conoce como producto de Hadamard o producto de Schur.

Con más detalle, si tenemos dos matrices A y B, su premultiplicación AB se define de la siguiente manera:

(AB)ij = ∑k=1n AkijBkj

donde A es una matriz de n x n , B es una matriz de n x m, y n y m son las dimensiones de las matrices. El resultado es una matriz de n x m, donde cada elemento en la posición (i, j) es la suma de los productos de los elementos correspondientes de A y B.

La premultiplicación tiene algunas propiedades útiles, como:

* (AB)B = A( BB) = A(A^T) = AA^T
* (AB)^T = B^T A^T = (BA)^T
* (AB) + (AC) = (A+C)B
* (AB) - ( AC) = A(B-C)

La premultiplicación se utiliza en muchas áreas del álgebra lineal, como la descomposición de valores propios, la descomposición de valores singulares y la factorización de matrices. También se utiliza en aprendizaje automático, procesamiento de señales y otros campos donde se utilizan matrices para representar datos o transformaciones.