Comprensión de las isogenias en criptografía
En criptografía, una isogenia es una función matemática que asigna una curva elíptica a otra. Las isogenias se utilizan en varios protocolos criptográficos, incluido el intercambio de claves y las firmas digitales. Una isogenia es un homomorfismo (una función que preserva la estructura del grupo) entre dos curvas elípticas. En otras palabras, es una función que asigna una curva a otra de tal manera que se preserva la operación de grupo de la curva de dominio. Las isogenias pueden ser sobreyectivas (es decir, asignan cada punto de la curva de dominio a un punto único de la curva de rango) o inyectivas (es decir, asignan cada punto de la curva de dominio a un punto único de la curva de rango, y ningún punto en la curva de rango tiene una preimagen debajo de la isogenia). Las isogenias son importantes en criptografía porque permiten el intercambio eficiente de claves entre dos partes que comparten una relación de isogenia. Esto puede resultar útil en diversas aplicaciones, como protocolos de intercambio de claves, firmas digitales y sistemas de mensajería segura. Por ejemplo, si dos partes tienen una clave secreta compartida que se deriva de una isogenia entre sus respectivas curvas elípticas, pueden usar esta clave para cifrar y descifrar mensajes, o para autenticar las identidades de cada uno. Hay varios tipos de isogenias que comúnmente se utilizan. utilizado en criptografía, incluyendo:
1. Isogenias de la forma y^2 = x^3 + ax + b: Son isogenias que mapean una curva elíptica de la forma y^2 = x^3 + ax + b a otra curva elíptica de la misma forma.
2. Isogenias de la forma y^2 = x^3 + ax + b, donde a y b son constantes: Estas son isogenias que mapean una curva elíptica de la forma y^2 = x^3 + ax + b a otra curva elíptica de la forma y^2 = x^3 + cx + d, donde cyd son constantes.
3. Isogenias de la forma y^2 = x^3 + ax + b, donde a y b son polinomios: Estas son isogenias que mapean una curva elíptica de la forma y^2 = x^3 + ax + b a otra curva elíptica de la forma y^2 = x^3 + P(x)Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios.
Las isogenias tienen varias propiedades deseables para aplicaciones criptográficas, entre ellas:
1. Eficiencia: Las isogenias se pueden calcular de manera eficiente utilizando la transformada rápida de Fourier (FFT) u otros algoritmos especializados.
2. Seguridad: Las isogenias son resistentes a los ataques de las computadoras cuánticas, lo que las convierte en una opción prometedora para la criptografía poscuántica.
3. Escalabilidad: Las isogenias se pueden utilizar para construir sistemas criptográficos a gran escala que sean seguros y eficientes.
4. Flexibilidad: las isogenias se pueden combinar con otras primitivas criptográficas, como el cifrado de clave pública y las firmas digitales, para crear protocolos criptográficos versátiles. En resumen, las isogenias son funciones matemáticas que asignan una curva elíptica a otra y tienen una amplia gama de aplicaciones. en criptografía, incluido el intercambio de claves, firmas digitales y sistemas de mensajería seguros. Ofrecen varias propiedades deseables, como eficiencia, seguridad, escalabilidad y flexibilidad, lo que las convierte en una opción prometedora para la criptografía poscuántica.
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