Entendiendo el conmutador de matrices

El conmutador de dos matrices A y B, denotado por [A,B], es una matriz que representa el resultado de aplicar la operación de una matriz a la otra. Específicamente, [A,B] = AB -BA. En otras palabras, es la diferencia entre el producto de A y B, y el producto de B y A.

Por ejemplo, si tenemos dos matrices A = [a11, a12; a21, a22] y B = [b11, b12; b21, b22], entonces el conmutador [A,B] = AB -BA sería:

[A,B] = [a11b11 + a12b21, a11b12 + a12b22; a21b11 + a22b21, a21b12 + a22b22] - [b11a11 + b12a21, b11a12 + b12a22; b21a11 + b22a21, b21a12 + b22a22]

= [a11b22 - b11a22, a12b21 - b12a21; a21b12 - b21a12, a22b11 - b22a11]

El conmutador de dos matrices se puede utilizar para medir la falla del producto de la matriz al conmutar. Si el conmutador es cero, entonces el producto matricial conmuta, lo que significa que el orden en el que multiplicamos las matrices no importa. Si el conmutador es distinto de cero, entonces el producto matricial no conmuta y el orden en el que multiplicamos las matrices sí importa. En resumen, el conmutador de dos matrices es una medida de qué tan bien conmuta el producto matricial y puede ser Se utiliza para determinar si el producto es conmutativo o no.