¿Qué es la irreductibilidad en la teoría de categorías?

En teoría de categorías, un functor se llama irreductible si no se puede descomponer como producto de funtores más simples. En otras palabras, un funtor es irreductible si no puede expresarse como una composición de functores "más simples", donde la simplicidad se mide en términos del número de morfismos involucrados en la composición. Por ejemplo, considere la categoría de conjuntos, donde los únicos morfismos son funciones entre conjuntos. El funtor identidad, que simplemente devuelve el conjunto sin cambios, es un funtor irreductible porque no puede descomponerse como producto de funtores más simples. Por otro lado, el funtor que asigna cada conjunto a su conjunto de poderes no es irreductible porque puede descomponerse como un producto de funtores más simples: el funtor que asigna cada conjunto a su conjunto subyacente y el funtor que asigna cada conjunto a su conjunto de poderes. .

La irreductibilidad es un concepto importante en la teoría de categorías porque está estrechamente relacionado con la noción de objetos "primitivos" u objetos "básicos". En cualquier categoría, hay ciertos objetos que no se pueden descomponer en objetos más simples, y estos objetos a menudo se denominan primitivos o básicos. De manera similar, hay ciertos functores que no se pueden descomponer en functores más simples, y estos functores a menudo se denominan irreductibles. En resumen, la irreductibilidad es un concepto en la teoría de categorías que se refiere a la idea de que algunos functores no se pueden descomponer en functores más simples. Está estrechamente relacionado con la noción de objetos primitivos o básicos y es un concepto importante para comprender la estructura de las categorías.