¿Qué es un monoide? Definición, ejemplos y aplicaciones
Un monoide es una estructura matemática que consta de un conjunto de elementos y una operación que combina esos elementos de una manera que satisface ciertas propiedades.
Para ser más específico, un monoide se define de la siguiente manera:
* Un conjunto `M` de elementos, que puede ser cualquier cosa (números, símbolos, etc.).
* Una operación `*` que toma dos elementos `a` y `b` de `M` y devuelve otro elemento `a * b` también en `M`.
Las propiedades que debe satisfacer la operación son:
* Asociatividad: `(a * b) * c = a * (b * c)` para todo `a`, `b` y `c` en `M`. Esto significa que el orden en el que realizamos la operación no importa.
* Identidad: Existe un elemento `e` en `M` tal que `a * e = e * a = a` para todo `a` en ` M`. Este elemento se llama elemento identidad y sirve como elemento "neutral" para la operación.
* Inversa: Para cada elemento `a` en `M`, existe otro elemento `b` en `M` tal que ` a * b = b * a = e`. Este elemento `b` se llama inverso de `a`, y deshace el efecto de `a` cuando se combina con él.
Por ejemplo, el conjunto de números enteros con la operación de suma forma un monoide:
* El conjunto `M ` es el conjunto de todos los números enteros.
* La operación `*` es la suma.
* El elemento identidad es 0, porque `a + 0 = a` para cualquier número entero `a`.
* El inverso de un elemento `a ` es `-a`, porque `a + (-a) = 0`.
Otro ejemplo de monoide es el conjunto de todas las cadenas de caracteres con la operación de concatenación:
* El conjunto `M` es el conjunto de todos cadenas de caracteres.
* La operación `*` es concatenación.
* El elemento identidad es la cadena vacía, porque `a + "" = a` para cualquier cadena `a`.
* La inversa de un elemento `a` es la cadena que se obtiene al invertir `a`, porque `a + ("" + a) = a + a = e`.
Los monoides se utilizan en muchas áreas de las matemáticas y la informática, como el álgebra abstracta, la teoría de grupos y la teoría funcional. programación. Proporcionan una forma de describir la simetría y la estructura en diversos objetos y sistemas matemáticos, y tienen muchas aplicaciones en criptografía, teoría de la codificación y otras áreas de la informática.
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