Calculabilité en logique mathématique : comprendre la vérité et le mensonge

La calculabilité est un concept de la logique mathématique et des fondements des mathématiques qui fait référence à la capacité d'un système formel à déterminer la vérité ou la fausseté d'une déclaration au sein de ce système. Une déclaration est dite calculable si elle peut être prouvée ou réfutée à l'aide des règles du système.

Plus précisément, une déclaration est calculable s'il existe un algorithme, ou un ensemble d'étapes, qui peut être appliqué à la déclaration pour déterminer sa vérité ou son mensonge. Cet algorithme peut impliquer l'application de certains axiomes, définitions et autres règles du système formel, ainsi que l'utilisation d'opérateurs logiques tels que la négation, la conjonction et la disjonction.

Par exemple, en logique propositionnelle, l'énoncé « Soit A soit B" est calculable car nous pouvons utiliser les lois de la logique pour déterminer s'il est vrai ou faux. Si nous savons que A est vrai, alors l’énoncé est vrai, et si nous savons que A est faux, alors l’énoncé est faux. Dans ce cas, nous pouvons utiliser une table de vérité pour déterminer la valeur de vérité de l'énoncé.

En revanche, l'énoncé « L'ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes » n'est pas calculable, car il s'agit d'un paradoxe autoréférentiel qui ne peut pas être calculé. être résolu en utilisant les règles de tout système formel. Cette déclaration est connue sous le nom de paradoxe de Russell et met en évidence les limites de la théorie naïve des ensembles et la nécessité de fondements mathématiques plus sophistiqués.

Dans l'ensemble, la calculabilité est un concept important dans la logique mathématique et les fondements des mathématiques, car elle aide à déterminer quelles déclarations peuvent être prouvés ou réfutés dans un système formel donné, et quelles déclarations sont intrinsèquement indécidables.