Comprendre la fonction Weierstrass : un guide sur les fonctions continues nulle part

La fonction Weierstrass est une fonction mathématique utilisée pour définir le concept de fonction continue. Il a été introduit par Karl Weierstrass, un mathématicien allemand, à la fin du XIXe siècle. La fonction est définie comme suit :

f(x) = 0 si x est rationnel (x = a/b, où a et b sont des entiers et b est non nul)

f(x) = 1/x si x est irrationnel ( x ne peut pas être exprimé sous forme de rapport d'entiers)

La fonction de Weierstrass est un exemple de fonction continue nulle part, ce qui signifie qu'elle n'a aucun point où elle est continue. En effet, la fonction change constamment de valeur à mesure que x change et il n'y a aucun point auquel la fonction est définie à tout moment.

La fonction de Weierstrass a plusieurs propriétés importantes, notamment :

1. Elle est continue en tout point dans les nombres rationnels, mais en aucun point dans les nombres irrationnels.
2. Il est différentiable en tout point dans les nombres rationnels, mais en aucun point dans les nombres irrationnels.
3. Il a une limite finie en chaque point des nombres rationnels, mais n'a de limite finie en aucun point des nombres irrationnels.
4. Elle est délimitée respectivement au-dessus et au-dessous par les fonctions 0 et 1/x.

La fonction de Weierstrass a de nombreuses applications en mathématiques, notamment dans le domaine de l'analyse réelle. Il est utilisé pour démontrer l’existence de fonctions continues nulle part, qui sont des fonctions qui n’ont aucun point où elles sont continues. Il a également des applications dans d’autres domaines des mathématiques, tels que la topologie et la théorie des mesures.