Comprendre la prémultiplication en algèbre linéaire

La prémultiplication est une opération matricielle qui multiplie chaque élément d'une matrice par l'élément correspondant d'une autre matrice et est désignée par le symbole "·" ou "⋅". Il est également connu sous le nom de produit Hadamard ou produit de Schur.

Plus en détail, si nous avons deux matrices A et B, leur prémultiplication AB est définie comme suit :

(AB)ij = ∑k=1n AkijBkj

où A est une matrice n x n , B est une matrice n x m, et n et m sont les dimensions des matrices. Le résultat est une matrice n x m, où chaque élément en position (i, j) est la somme des produits des éléments correspondants de A et B.

La prémultiplication a des propriétés utiles, telles que :

* (AB)B = A( BB) = A(A^T) = AA^T
* (AB)^T = B^T A^T = (BA)^T
* (AB) + (AC) = (A+C)B
* (AB) - ( AC) = A(B-C)

La prémultiplication est utilisée dans de nombreux domaines de l'algèbre linéaire, tels que la décomposition des valeurs propres, la décomposition des valeurs singulières et la factorisation matricielle. Il est également utilisé dans l'apprentissage automatique, le traitement du signal et d'autres domaines dans lesquels des matrices sont utilisées pour représenter des données ou des transformations.