Comprendre la sous-distinctivité dans la théorie des types et la théorie des types homotopiques

Dans le contexte de la théorie des types et de la théorie des types d'homotopie, une notion introduite par Vladimir Voevodsky et ses collaborateurs est le concept de « sous-distinctivité ». d'autres types dans le sens où il a beaucoup de structure qui n'est pas partagée avec d'autres types. Par exemple, le type « Nat » (nombres naturels) est très distinctif car il a de nombreuses structures qui ne sont pas partagées avec d'autres types, comme le fait qu'il s'agit d'un ordre linéaire et qu'il a une fonction successeur.

Sur le d'autre part, le type `Set` (ensembles) est moins distinctif car il n'a pas autant de structure qui n'est pas partagée avec d'autres types. En fait, « Set » est souvent considéré comme un type « universel » dans le sens où il peut être utilisé pour coder n'importe quel autre type, ce qui signifie qu'il n'a pas autant de structure qui lui est propre.

Le caractère subdistinctif d'un le type est une mesure de la mesure dans laquelle le type ressemble aux autres types dans le sens où il a moins de structure qui n'est pas partagée avec d'autres types. Par exemple, le type « Fin Nat » (nombres naturels finis) est moins distinctif que « Nat » car il a moins de structures qui ne sont pas partagées avec d'autres types. En fait, « Fin Nat » peut être considéré comme un « cas particulier » de « Nat » dans le sens où il s'agit d'un sous-ensemble de « Nat » et qu'il comporte moins d'éléments.

Le caractère subdistinctif d'un type peut être mesuré à l'aide d'une variété de méthodes, telles que la taille du type, le nombre de structures que possède le type, etc. Par exemple, le type `Fin Nat` est moins distinctif que `Nat` car il a une taille plus petite (il ne contient que le fini nombres naturels) et il a moins de structures (il n'a pas de fonction successeur).

En général, le concept de sous-distinctivité est utile pour comprendre les relations entre différents types dans une théorie des types, et il peut être utilisé pour raisonner sur les propriétés de types et leurs relations avec les autres types. Par exemple, on peut utiliser le concept de sous-distinctivité pour prouver que certains types sont « essentiellement » identiques à d’autres types, ou pour montrer que certains types sont « essentiellement » distincts d’autres types.