Comprendre le commutateur des matrices

Le commutateur de deux matrices A et B, noté [A,B], est une matrice qui représente le résultat de l'application du fonctionnement d'une matrice à l'autre. Plus précisément, [A,B] = AB -BA. En d'autres termes, c'est la différence entre le produit de A et B, et le produit de B et A.

Par exemple, si nous avons deux matrices A = [a11, a12; a21, a22] et B = [b11, b12; b21, b22], alors le commutateur [A,B] = AB -BA serait :

[A,B] = [a11b11 + a12b21, a11b12 + a12b22 ; a21b11 + a22b21, a21b12 + a22b22] - [b11a11 + b12a21, b11a12 + b12a22; b21a11 + b22a21, b21a12 + b22a22]

= [a11b22 - b11a22, a12b21 - b12a21; a21b12 - b21a12, a22b11 - b22a11]

Le commutateur de deux matrices peut être utilisé pour mesurer l'échec du produit matriciel à faire la navette. Si le commutateur est nul, alors le produit matriciel fait la navette, ce qui signifie que l’ordre dans lequel nous multiplions les matrices n’a pas d’importance. Si le commutateur est différent de zéro, alors le produit matriciel ne fait pas la navette et l'ordre dans lequel nous multiplions les matrices est important.

En résumé, le commutateur de deux matrices est une mesure de la façon dont le produit matriciel fait la navette et peut être utilisé pour déterminer si le produit est commutatif ou non.