Comprendre les isogénies en cryptographie

En cryptographie, une isogénie est une fonction mathématique qui mappe une courbe elliptique à une autre. Les isogénies sont utilisées dans divers protocoles cryptographiques, notamment l'échange de clés et les signatures numériques.

Une isogénie est un homomorphisme (une fonction qui préserve la structure du groupe) entre deux courbes elliptiques. En d’autres termes, il s’agit d’une fonction qui mappe une courbe sur une autre de telle manière que l’opération de groupe de la courbe de domaine soit préservée. Les isogénies peuvent être soit surjectives (c'est-à-dire qu'elles mappent chaque point de la courbe de domaine à un point unique sur la courbe de plage) ou injectives (c'est-à-dire qu'elles mappent chaque point de la courbe de domaine à un point unique sur la courbe de plage, et aucun point sur la courbe de portée a une préimage sous l'isogénie).

Les isogénies sont importantes en cryptographie car elles permettent l'échange efficace de clés entre deux parties qui partagent une relation d'isogénie. Cela peut être utile dans diverses applications, telles que les protocoles d'échange de clés, les signatures numériques et les systèmes de messagerie sécurisés. Par exemple, si deux parties disposent d'une clé secrète partagée dérivée d'une isogénie entre leurs courbes elliptiques respectives, elles peuvent utiliser cette clé pour chiffrer et déchiffrer des messages, ou pour authentifier l'identité de chacun.

Il existe plusieurs types d'isogénies qui sont couramment utilisées. utilisé en cryptographie, notamment :

1. Isogénies de la forme y^2 = x^3 + ax + b : Ce sont des isogénies qui mappent une courbe elliptique de la forme y^2 = x^3 + ax + b à une autre courbe elliptique de la même forme.
2. Isogénies de la forme y^2 = x^3 + ax + b, où a et b sont des constantes : ce sont des isogénies qui mappent une courbe elliptique de la forme y^2 = x^3 + ax + b à une autre courbe elliptique de la forme y^2 = x^3 + cx + d, où c et d sont des constantes.
3. Isogénies de la forme y^2 = x^3 + ax + b, où a et b sont des polynômes : ce sont des isogénies qui mappent une courbe elliptique de la forme y^2 = x^3 + ax + b à une autre courbe elliptique de la forme y^2 = x^3 + P(x)Q(x), où P(x) et Q(x) sont des polynômes.

Les isogénies ont plusieurs propriétés souhaitables pour les applications cryptographiques, notamment :

1. Efficacité : les isogénies peuvent être calculées efficacement à l'aide de la transformée de Fourier rapide (FFT) ou d'autres algorithmes spécialisés.
2. Sécurité : les isogénies résistent aux attaques des ordinateurs quantiques, ce qui en fait un choix prometteur pour la cryptographie post-quantique.
3. Évolutivité : les isogénies peuvent être utilisées pour construire des systèmes cryptographiques à grande échelle, sécurisés et efficaces.
4. Flexibilité : les isogénies peuvent être combinées avec d'autres primitives cryptographiques, telles que le cryptage à clé publique et les signatures numériques, pour créer des protocoles cryptographiques polyvalents.

En résumé, les isogénies sont des fonctions mathématiques qui mappent une courbe elliptique à une autre, et elles ont un large éventail d'applications. en cryptographie, y compris l'échange de clés, les signatures numériques et les systèmes de messagerie sécurisés. Ils offrent plusieurs propriétés souhaitables, telles que l’efficacité, la sécurité, l’évolutivité et la flexibilité, ce qui en fait un choix prometteur pour la cryptographie post-quantique.