Exacteurs dans la théorie des catégories : un guide pour comprendre l'exactitude des foncteurs

Les exacteurs sont un moyen de définir une notion « d'exactitude » pour un foncteur, qui peut être utilisée pour étudier les propriétés du foncteur.

Un exacteur est une paire de foncteurs et une transformation naturelle entre celui-ci et le foncteur d'identité. L'idée est que le foncteur est « exact » dans le sens où il préserve une certaine sorte de structure, comme une structure de groupe ou d'anneau, et la transformation naturelle est un moyen de mesurer dans quelle mesure le foncteur préserve cette structure.

Par exemple, si nous avons un foncteur F : Grp -> Ab, où Grp est la catégorie des groupes et Ab est la catégorie des groupes abéliens, alors un exacteur pour F pourrait être une paire (F, ε), où ε est une transformation naturelle de F au foncteur d'identité Id_Ab, tel que ε(g) est un homomorphisme de F(g) vers g pour tous les objets g dans Grp. Cela signifie que F préserve la structure de groupe des objets dans Grp, et ε mesure dans quelle mesure F préserve cette structure.

Les extracteurs ont de nombreuses applications dans la théorie des catégories, notamment l'étude des limites et des colimites, la définition des foncteurs dérivés et l'étude des transformations naturelles entre foncteurs. Ils sont également étroitement liés à d’autres concepts importants de la théorie des catégories, tels que les séquences exactes et les triangles.