Qu’est-ce que l’irréductibilité dans la théorie des catégories ?

Dans la théorie des catégories, un foncteur est dit irréductible s’il ne peut être décomposé en produit de foncteurs plus simples. En d'autres termes, un foncteur est irréductible s'il ne peut pas être exprimé comme une composition de foncteurs « plus simples », où la simplicité se mesure en termes du nombre de morphismes impliqués dans la composition.

Par exemple, considérons la catégorie des ensembles, où les seuls morphismes sont des fonctions entre ensembles. Le foncteur identité, qui renvoie simplement l'ensemble inchangé, est un foncteur irréductible car il ne peut pas être décomposé en produit de foncteurs plus simples. D'un autre côté, le foncteur qui mappe chaque ensemble à son ensemble de puissances n'est pas irréductible car il peut être décomposé comme un produit de foncteurs plus simples : le foncteur qui mappe chaque ensemble à son ensemble de puissances sous-jacent, et le foncteur qui mappe chaque ensemble à son ensemble de puissances. .

La réductibilité est un concept important dans la théorie des catégories car elle est étroitement liée à la notion d'objets « primitifs » ou d'objets « de base ». Dans n'importe quelle catégorie, certains objets ne peuvent pas être décomposés en objets plus simples, et ces objets sont souvent qualifiés de primitifs ou basiques. De même, certains foncteurs ne peuvent pas être décomposés en foncteurs plus simples, et ces foncteurs sont souvent appelés irréductibles.

En résumé, l'irréductibilité est un concept de la théorie des catégories qui fait référence à l'idée selon laquelle certains foncteurs ne peuvent pas être décomposés en foncteurs plus simples. Il est étroitement lié à la notion d'objets primitifs ou basiques et constitue un concept important pour comprendre la structure des catégories.