Qu'est-ce qu'un coproduit dans la théorie des catégories ?

Un coproduit est une construction mathématique qui généralise la notion de produit dans une catégorie. C'est une manière de combiner deux objets d'une catégorie en un nouvel objet, de la même manière que le produit cartésien combine deux ensembles en un nouvel ensemble.

Dans une catégorie C, un coproduit est une paire d'objets A et B, ainsi qu'un morphisme. (appelée « coprojection ») de A vers B, de telle sorte que chaque morphisme de A à C puisse être pris en compte via cette coprojection. En d'autres termes, chaque flèche de A à C peut être écrite comme un composite de la coprojection suivi d'une autre flèche.

Voici quelques propriétés clés des coproduits :

1. Existence : les coproduits existent dans toute catégorie qui a un objet terminal (un objet qui n'est la source d'aucune flèche). En particulier, chaque catégorie possède un objet terminal, qui est souvent noté 1 ou I.
2. Propriété universelle : La coprojection de A vers B est universelle dans le sens où elle est la « meilleure » façon de factoriser la flèche de A vers C. Plus précisément, s'il existe deux morphismes de A vers C, l'un peut être factorisé via la coprojection, et l'autre ne le peut pas.
3. Associativité : les coproduits sont associatifs, ce qui signifie que (A ⊕ B) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C). Cela signifie que nous pouvons combiner plusieurs coproduits dans l’ordre de notre choix.
4. Distributivité : les coproduits se répartissent sur le produit, ce qui signifie que A ⊕ (B × C) = (A ⊕ B) × (A ⊕ C). Cela nous permet d'utiliser des coproduits pour construire des structures plus complexes à partir de structures plus simples.

Les coproduits sont utilisés dans de nombreux domaines des mathématiques, notamment la théorie des catégories, l'algèbre homologique et la théorie des gerbes. Ils permettent de construire de nouveaux objets en combinant des objets existants et possèdent de nombreuses propriétés et applications intéressantes.