Qu'est-ce qu'un foncteur non trivial dans la théorie des catégories ?

Dans la théorie des catégories, un foncteur est appelé « non trivial » ou « non tenable » s'il ne s'agit pas d'une relation d'équivalence. En d'autres termes, si le foncteur ne préserve pas l'égalité des morphismes, alors il n'est pas trivial.

Par exemple, considérons la catégorie des ensembles, où les morphismes sont des fonctions entre ensembles. Le foncteur identité, qui mappe simplement chaque ensemble à lui-même et chaque fonction à elle-même, est un foncteur trivial car il préserve tous les morphismes. D'un autre côté, le foncteur qui mappe chaque ensemble à son ensemble de puissances et chaque fonction à son inverse n'est pas trivial car il ne préserve pas l'égalité des morphismes.

En général, un foncteur non trivial peut être considéré comme une transformation « non triviale ». entre les catégories, ce qui modifie d'une certaine manière la structure sous-jacente de la catégorie.