Qu'est-ce qu'un monoïde ? Définition, exemples et applications

Un monoïde est une structure mathématique composée d'un ensemble d'éléments et d'une opération qui combine ces éléments d'une manière qui satisfait certaines propriétés.

Pour être plus précis, un monoïde est défini comme suit :

* Un ensemble « M » d'éléments, qui peut être n'importe quoi (nombres, symboles, etc.).
* Une opération `*` qui prend deux éléments `a` et `b` de `M` et renvoie un autre élément `a * b` également dans `M`.

Les propriétés que l'opération doit satisfaire sont :

* Associativité : `(a * b) * c = a * (b * c)` pour tous `a`, `b` et `c` dans `M`. Cela signifie que l'ordre dans lequel nous effectuons l'opération n'a pas d'importance.
* Identité : Il existe un élément `e` dans `M` tel que `a * e = e * a = a` pour tout `a` dans ` M`. Cet élément est appelé élément d'identité, et il sert d'élément « neutre » pour l'opération.
* Inverse : Pour chaque élément `a` dans `M`, il existe un autre élément `b` dans `M` tel que ` a * b = b * a = e`. Cet élément `b` est appelé l'inverse de `a`, et il annule l'effet de `a` lorsqu'il est combiné avec lui.

Par exemple, l'ensemble des entiers avec l'opération d'addition forme un monoïde :

* L'ensemble `M ` est l'ensemble de tous les entiers.
* L'opération `*` est une addition.
* L'élément d'identité est 0, car `a + 0 = a` pour tout entier `a`.
* L'inverse d'un élément `a ` est `-a`, car `a + (-a) = 0`.

Un autre exemple de monoïde est l'ensemble de toutes les chaînes de caractères avec l'opération de concaténation :

* L'ensemble `M` est l'ensemble de tous chaînes de caractères.
* L'opération `*` est une concaténation.
* L'élément d'identité est la chaîne vide, car `a + "" = a` pour toute chaîne `a`.
* L'inverse d'un élément `a` est la chaîne obtenue en inversant `a`, car `a + ("" + a) = a + a = e`.

Les monoïdes sont utilisés dans de nombreux domaines des mathématiques et de l'informatique, tels que l'algèbre abstraite, la théorie des groupes et la théorie fonctionnelle la programmation. Ils permettent de décrire la symétrie et la structure de divers objets et systèmes mathématiques et ont de nombreuses applications en cryptographie, en théorie du codage et dans d’autres domaines de l’informatique.