Qu'est-ce qu'une matrice irréductible ?

Une matrice irréductible est une matrice carrée qui ne peut pas être décomposée en produit de deux matrices plus petites, c'est-à-dire qu'elle ne peut pas s'écrire comme le produit de deux matrices de dimensions plus petites. En d'autres termes, une matrice est irréductible si elle ne peut pas être diagonalisée par transformation de similarité.

Par exemple, une matrice d'identité 2x2 est irréductible car elle ne peut pas être décomposée en produit de deux matrices plus petites. Une matrice 3x3 sans éléments nuls sur sa diagonale principale est également irréductible car elle ne peut pas être diagonalisée par transformation de similarité.

En algèbre linéaire, les matrices irréductibles sont importantes dans de nombreuses applications, telles que la décomposition des valeurs propres, les transformations linéaires et les chaînes de Markov.