गणितीय तर्क में गणनात्मकता: सत्य और असत्य को समझना
गणना गणितीय तर्क और गणित की नींव में एक अवधारणा है जो उस प्रणाली के भीतर एक बयान की सच्चाई या झूठ को निर्धारित करने के लिए एक औपचारिक प्रणाली की क्षमता को संदर्भित करती है। एक कथन को गणना योग्य कहा जाता है यदि इसे सिस्टम के नियमों का उपयोग करके सिद्ध या अस्वीकृत किया जा सकता है। यह सच है या झूठ. इस एल्गोरिदम में औपचारिक प्रणाली के कुछ स्वयंसिद्ध सिद्धांतों, परिभाषाओं और अन्य नियमों के अनुप्रयोग के साथ-साथ निषेध, संयोजन और विच्छेदन जैसे तार्किक ऑपरेटरों का उपयोग शामिल हो सकता है।
उदाहरण के लिए, प्रस्तावात्मक तर्क में, कथन "या तो ए या बी" गणना योग्य है क्योंकि हम यह निर्धारित करने के लिए तर्क के नियमों का उपयोग कर सकते हैं कि यह सत्य है या गलत। यदि हम जानते हैं कि A सत्य है, तो कथन सत्य है, और यदि हम जानते हैं कि A असत्य है, तो कथन असत्य है। इस मामले में, हम कथन का सत्य मान निर्धारित करने के लिए एक सत्य तालिका का उपयोग कर सकते हैं। इसके विपरीत, कथन "सभी सेटों का सेट जिसमें स्वयं शामिल नहीं है" गणना योग्य नहीं है, क्योंकि यह एक स्व-संदर्भित विरोधाभास है जो नहीं कर सकता है किसी भी औपचारिक प्रणाली के नियमों का उपयोग करके हल किया जा सकता है। इस कथन को रसेल के विरोधाभास के रूप में जाना जाता है, और यह अनुभवहीन सेट सिद्धांत की सीमाओं और गणित के लिए अधिक परिष्कृत नींव की आवश्यकता पर प्रकाश डालता है। कुल मिलाकर, गणनात्मकता गणितीय तर्क और गणित की नींव में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है, क्योंकि यह यह निर्धारित करने में मदद करती है कि कौन से कथन किसी दी गई औपचारिक प्रणाली के भीतर सिद्ध या असिद्ध किया जा सकता है, और कौन से कथन स्वाभाविक रूप से अनिर्णीत हैं।
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