मेट्रिज़ेशन क्या है? मीट्रिक रिक्त स्थान के उदाहरण

गणित में, मीट्रिक स्पेस एक दूरी फ़ंक्शन से संपन्न बिंदुओं का एक समूह है जो कुछ गुणों को संतुष्ट करता है। दूरी फ़ंक्शन हमें अंतरिक्ष में किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी मापने की अनुमति देता है। मीट्रिक रिक्त स्थान का उपयोग ज्यामितीय वस्तुओं और परिवर्तनों को परिभाषित करने और उनका अध्ययन करने के लिए किया जाता है, और भौतिकी, इंजीनियरिंग और कंप्यूटर विज्ञान जैसे क्षेत्रों में उनके कई अनुप्रयोग हैं। इस उत्तर में, हम जानेंगे कि मेट्रिज़ेशन का क्या अर्थ है और मीट्रिक रिक्त स्थान के कुछ उदाहरण।

मेट्रिज़ेशन क्या है?

मेट्रिज़ेशन बिंदुओं के एक सेट पर दूरी फ़ंक्शन को परिभाषित करने की प्रक्रिया है। इस दूरी फ़ंक्शन को तीन गुणों को संतुष्ट करना होगा: गैर-नकारात्मकता (दो बिंदुओं के बीच की दूरी हमेशा गैर-नकारात्मक होती है), समरूपता (दो बिंदुओं के बीच की दूरी दोनों दिशाओं में समान होती है), और त्रिकोण असमानता (दो बिंदुओं के बीच की दूरी होती है) किसी तीसरे बिंदु की दूरी के योग से कम या उसके बराबर)। एक बार जब बिंदुओं का एक सेट मीटरीकृत हो जाता है, तो हम निकटता, अभिसरण और निरंतरता जैसी ज्यामितीय अवधारणाओं को परिभाषित कर सकते हैं।

मीट्रिक रिक्त स्थान के उदाहरण:

1. मानक दूरी के साथ वास्तविक संख्याएँ: मानक दूरी फ़ंक्शन से सुसज्जित सभी वास्तविक संख्याओं का सेट (यानी, दो वास्तविक संख्याओं के बीच अंतर का पूर्ण मूल्य) एक मीट्रिक स्थान है। यह स्थान पूर्ण है, जिसका अर्थ है कि वास्तविक संख्याओं का कोई भी कॉची अनुक्रम इस स्थान में एक सीमा तक परिवर्तित होता है।
2. यूक्लिडियन दूरी के साथ यूक्लिडियन स्थान: वास्तविक संख्याओं के सभी एन-टुपल्स का सेट (जहां एन एक सकारात्मक पूर्णांक है) यूक्लिडियन दूरी फ़ंक्शन से सुसज्जित है (यानी, दो बिंदुओं के बीच अंतर के वर्गों के योग का वर्गमूल) एक मीट्रिक स्थान है. यह स्थान पूर्ण है और इसका उपयोग ज्यामितीय आकृतियों और परिवर्तनों का अध्ययन करने के लिए किया जाता है।
3. असतत दूरी के साथ पूर्णांकों का सेट: असतत दूरी फ़ंक्शन से सुसज्जित सभी पूर्णांकों का सेट (यानी, यदि अंक समान हैं तो 0, यदि वे अलग हैं तो 1) एक मीट्रिक स्थान है। यह स्थान पूर्ण नहीं है, जिसका अर्थ है कि पूर्णांकों के कॉची अनुक्रम हैं जो इस स्थान में एक सीमा तक परिवर्तित नहीं होते हैं।
4. हैमिंग दूरी के साथ एक गोले के सभी संभावित रंगों का सेट: एक गोले के सभी संभावित रंगों का सेट (जहां गोले पर प्रत्येक बिंदु को एक रंग सौंपा गया है) हैमिंग दूरी फ़ंक्शन से सुसज्जित है (यानी, रंगों की संख्या जो भिन्न होती है) दो बिंदु) एक मीट्रिक स्थान है। यह स्थान पूर्ण नहीं है, जिसका अर्थ है कि रंगों के कॉची अनुक्रम हैं जो इस स्थान में एक सीमा तक परिवर्तित नहीं होते हैं। अंत में, मेट्रिज़ेशन बिंदुओं के एक सेट पर दूरी फ़ंक्शन को परिभाषित करने की प्रक्रिया है, और यह हमें ज्यामितीय का अध्ययन करने की अनुमति देता है निकटता, अभिसरण और निरंतरता जैसी गणितीय अवधारणाओं का उपयोग करके वस्तुएं और परिवर्तन। मीट्रिक रिक्त स्थान के कई उदाहरण हैं, प्रत्येक के अपने गुण और अनुप्रयोग हैं। उन्नत गणित और भौतिकी का अध्ययन करने के लिए मेट्रिज़ेशन को समझना आवश्यक है, और कंप्यूटर विज्ञान और इंजीनियरिंग जैसे क्षेत्रों में इसके कई व्यावहारिक अनुप्रयोग हैं।