मोनॉइड क्या है? परिभाषा, उदाहरण और अनुप्रयोग

एक मोनॉइड एक गणितीय संरचना है जिसमें तत्वों का एक सेट होता है और एक ऑपरेशन होता है जो उन तत्वों को इस तरह से जोड़ता है जो कुछ गुणों को संतुष्ट करता है। अधिक विशिष्ट होने के लिए, एक मोनॉइड को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

* तत्वों का एक सेट `एम`, जो कुछ भी हो सकता है (संख्याएं, प्रतीक, आदि)।

वे गुण जो ऑपरेशन को संतुष्ट करने चाहिए वे हैं:

* सहयोगीता: `(a * b) * c = a * (b * c)` सभी `a`, `b`, और `c` के लिए `M` में। इसका मतलब यह है कि हम जिस क्रम में ऑपरेशन करते हैं, वह मायने नहीं रखता। एम`. इस तत्व को पहचान तत्व कहा जाता है, और यह ऑपरेशन के लिए "तटस्थ" तत्व के रूप में कार्य करता है। * उलटा: `M` में प्रत्येक तत्व `a` के लिए, `M` में एक और तत्व `b` मौजूद होता है जैसे कि ` ए * बी = बी * ए = ई`। इस तत्व `बी` को `ए` का व्युत्क्रम कहा जाता है, और इसके साथ संयुक्त होने पर यह `ए` के प्रभाव को समाप्त कर देता है।

उदाहरण के लिए, जोड़ के संचालन के साथ पूर्णांकों का सेट एक मोनोइड बनाता है:

* सेट `एम `सभी पूर्णांकों का समुच्चय है।
* ऑपरेशन `*` जोड़ है।
* पहचान तत्व 0 है, क्योंकि किसी भी पूर्णांक `a` के लिए `a + 0 = a`। ``-a` है, क्योंकि `a + (-a) = 0`.

एक मोनोइड का एक अन्य उदाहरण संयोजन के संचालन के साथ वर्णों के सभी तारों का सेट है:

* सेट `M` सभी का सेट है वर्णों की स्ट्रिंग्स। `a` को उलटने से प्राप्त स्ट्रिंग है, क्योंकि `a + ("" + a) = a + a = e`.

Monoids का उपयोग गणित और कंप्यूटर विज्ञान के कई क्षेत्रों में किया जाता है, जैसे अमूर्त बीजगणित, समूह सिद्धांत और कार्यात्मक प्रोग्रामिंग. वे विभिन्न गणितीय वस्तुओं और प्रणालियों में समरूपता और संरचना का वर्णन करने का एक तरीका प्रदान करते हैं, और क्रिप्टोग्राफी, कोडिंग सिद्धांत और कंप्यूटर विज्ञान के अन्य क्षेत्रों में उनके कई अनुप्रयोग हैं।