रैखिक बीजगणित में पूर्वगुणन को समझना
प्रीमल्टिप्लिकेशन एक मैट्रिक्स ऑपरेशन है जो एक मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को दूसरे मैट्रिक्स के संबंधित तत्व से गुणा करता है, और इसे प्रतीक "·" या "⋅" द्वारा दर्शाया जाता है। इसे हैडामर्ड उत्पाद या शूर उत्पाद के रूप में भी जाना जाता है। अधिक विस्तार से, यदि हमारे पास दो आव्यूह ए और बी हैं, तो उनके पूर्वगुणन एबी को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
(एबी)आईजे = ∑k=1n अकीजबीकेजे
जहां ए एक एनएक्सएन मैट्रिक्स है , B एक n x m मैट्रिक्स है, और n और m मैट्रिक्स के आयाम हैं। परिणाम एक nxm मैट्रिक्स है, जहां स्थिति (i, j) पर प्रत्येक तत्व A और B के संबंधित तत्वों के उत्पादों का योग है।
Premultiplication में कुछ उपयोगी गुण हैं, जैसे:
* (AB)B = A( बीबी) = ए(ए^टी) = एए^टी
* (एबी)^टी = बी^टी ए^टी = (बीए)^टी
* (एबी) + (एसी) = (ए+सी)बी
* (एबी) - ( AC) = A(B-C)
Premultiplication का उपयोग रैखिक बीजगणित के कई क्षेत्रों में किया जाता है, जैसे कि eigenvalue अपघटन, एकवचन मान अपघटन, और मैट्रिक्स फ़ैक्टराइज़ेशन। इसका उपयोग मशीन लर्निंग, सिग्नल प्रोसेसिंग और अन्य क्षेत्रों में भी किया जाता है जहां डेटा या परिवर्तनों का प्रतिनिधित्व करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग किया जाता है।
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