वीयरस्ट्रैस फ़ंक्शन को समझना: कहीं भी सतत कार्यों के लिए एक मार्गदर्शिका
वीयरस्ट्रैस फ़ंक्शन एक गणितीय फ़ंक्शन है जिसका उपयोग निरंतर फ़ंक्शन की अवधारणा को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। इसे 19वीं सदी के अंत में जर्मन गणितज्ञ कार्ल वीयरस्ट्रैस द्वारा पेश किया गया था। फ़ंक्शन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
f(x) = 0 यदि x परिमेय है (x = a/b, जहां a और b पूर्णांक हैं और b गैर-शून्य है)
f(x) = 1/x यदि x अपरिमेय है ( x को पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है)
वीयरस्ट्रैस फ़ंक्शन कहीं भी निरंतर फ़ंक्शन का एक उदाहरण नहीं है, जिसका अर्थ है कि इसका कोई बिंदु नहीं है जिस पर यह निरंतर है। ऐसा इसलिए है क्योंकि x परिवर्तन के साथ फ़ंक्शन लगातार अपना मान बदल रहा है, और ऐसा कोई बिंदु नहीं है जिस पर फ़ंक्शन को हर समय परिभाषित किया गया हो।
वीयरस्ट्रैस फ़ंक्शन में कई महत्वपूर्ण गुण हैं, जिनमें शामिल हैं:
1. यह परिमेय संख्याओं में प्रत्येक बिंदु पर सतत है, परंतु अपरिमेय संख्याओं में किसी भी बिंदु पर नहीं।
2. यह परिमेय संख्याओं में प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय है, लेकिन अपरिमेय संख्याओं में किसी भी बिंदु पर नहीं।
3. परिमेय संख्याओं में प्रत्येक बिंदु पर इसकी एक सीमित सीमा होती है, लेकिन अपरिमेय संख्याओं में किसी भी बिंदु पर इसकी कोई सीमित सीमा नहीं होती है।
4. यह क्रमशः ऊपर और नीचे फ़ंक्शन 0 और 1/x से घिरा हुआ है। वेयरस्ट्रैस फ़ंक्शन के गणित में कई अनुप्रयोग हैं, खासकर वास्तविक विश्लेषण के क्षेत्र में। इसका उपयोग कहीं भी निरंतर कार्यों के अस्तित्व को प्रदर्शित करने के लिए किया जाता है, जो कि ऐसे कार्य हैं जिनका कोई बिंदु नहीं है जिस पर वे निरंतर हैं। इसका गणित के अन्य क्षेत्रों जैसे टोपोलॉजी और माप सिद्धांत में भी अनुप्रयोग है।
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